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Gruppe ((Mathematik))

Artikel #6988, »Gruppe ((Mathematik))«, geschrieben von: Wolfgang Keller(Red.) (60 %) , Peter Jacobi (20 %) , David Schmithüsen (19 %) et al.

Gruppe, in der abstrakten Algebra eine assoziative algebraische Struktur, mit (links-)neutralem Element und (links-)inversen Elementen.

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Eine Gruppe Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
ist ein Tupel aus einer Menge Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
mit einer Funktion Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
, die in diesem Kontext meist als Operation oder Verknüfung bezeichnet wird. Diese algebraische Struktur ist eine Gruppe, wenn

  1. das Assoziativgesetz gilt.
  2. ein linksneutrales Element (auch: Einselement) existiert: Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
  3. zu jedem Element aus Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)
    ein linksinverses Element existiert: Fehler beim Rendern des Plugin-Contents. Bitte Fehlerprotokoll des Servers prüfen (lassen)

Aus diesen Axiomen folgt unter anderem, dass jedes linksneutrale Element auch rechtsneutral ist (und umgekehrt), dass jedes linksinverse Element auch rechtsinvers ist (und umgekehrt), sowie die Eindeutigkeit von dem neutralen Element und dem zu einem Gruppenelement gehörenden inversen Element.

Alternativ zu der Existenz von linksneutralen und linksinversen Elementen kann man auch die Existenz von rechtneutralen und rechtsinversen Elementen fordern. Hieraus folgt dann entsprechend dem vorherigen Absatz die entsprechenden Eigenschaften für die entsprechenden Linksäquivalente.

Jedoch führt die Forderung von linksneutralen und rechtsinversen (oder rechtsneutralen und linksinversen) Elementen nicht auf Gruppen, sondern auf allgemeinere Objekte, von denen Gruppen einen Spezialfall darstellen (dies ist deswegen der Fall, weil wie zwei Absätze vorher beschrieben in einer Gruppe auch Rechtsneutrale und -inverse existieren).

Jede Gruppe ist ein Spezialfall eines Monoids.

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