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Mathematik

Artikel #4509, »Mathematik«, geschrieben von: Peter Schulte-Stracke (88 %) , Peter Jacobi(Red.) (0 %)

Mathematik, Wissenschaft von den formalen Zeichen- und insb. Zahlensystemen. Als eine der ältesten Wissenschaften geht die Mathematik von den Intuitionen des Zählens und Messens und den darauf aufbauenden, in allen Kulturen teils in großem Umfang vorhandenen, Rechenfähigkeiten aus, hat ihre eigene Methode aber im Beweis, dem rein logischen Schließen, gefunden. Die dadurch gefundenen Sätze und daraus geschaffenen Theorien sind ihr eigentlicher Gegenstand.

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Im Kreise der Wissenschaften nimmt sie eine Sonderstellung ein; da sie ihren Gegenstand selbst erzeugt, ähnelt sie (auch im Verständnis vieler Mathematiker) einer Kunst mehr als einer Wissenschaft. Zugleich unterhält sie die engsten Beziehungen zu ihren Anwendungen, an erster Stelle seit Jahrhunderten der Physik, daneben insb. den anderen Naturwissenschaften; denn die Mathematik ermöglicht die Analyse und das Verständnis von Phänomen, die für den Menschen sinnlich nicht mehr erfahrbar sind.

Teilgebiete

Logik

Die Mathematik hat natürlich immer der Logik bedurft, doch dauerte es sehr lange, bis sie selbst sich mit ihren Grundlagen befasste.

Es war die Mengenlehre, die dies änderte. Diese hatte sich aus der Beschäftigung mit der Topologie entwickelt, genauer mit den Paradoxien des Unendlichen (Bernard Bolzano), wie man sie im Umgang mit den reellen Zahlen erlebte. Als man mit der Mengenlehre die unendlichen Mengen gemeistert hatte, war dies zugleich die Geburtsstunde einer neuen Mathematik, die sich von der Herrschaft der Zahlen und geometrischen Gebilde emanzipiert hatte. Aus dem Paradies der Mengenlehre (David Hilbert) wollte man sich nicht mehr vertreiben lassen.

Als sich die naive Mengenlehre als unhaltbar erwies, gewann plötzlich das Gebiet der mathematischen Logik jenes Interesse, das ihm von Leibniz bis Frege versagt geblieben war, und blühte rasch auf. Dabei dient die Formalisierung der Logik dem Ziel, die einzelnen Beweisschritte zu isolieren und Beweise vollständig als Folgen elementarer Operationen darstellen zu können, um diese dann mit mathematischen (z. B. arithmetischen) Mitteln (Gödel) zu untersuchen. Bei der Untersuchung axiomatischer Theorien interessiert man sich für deren widerspruchsfreien Aufbau und ihr Verhältnis zueinander.

Inzwischen haben sich vielfältige Teilgebiete und Anwendungen in und außerhalb der Mathematik herausgebildet, u. a. gehören dazu in der Informatik auch Beweissysteme.

Die Mengenlehre findet heute Ergänzung als lingua franca der Mathematik in der Kategorientheorie, die sich in den vierziger Jahren aus der algebraischen Topologie entwickelte.

Algebra

In der modernen Algebra, wie sie seit den 1920er Jahren gelehrt wird, entwickelt man ausgehend von einer Menge mit nur einer inneren Operation (Magama genannt) nacheinander die algebraischen Grundstrukturen der Monoide, Gruppen, Ringe und Körper, die allgegenwärtig sind, unter anderem, weil die verschiedenen Zahlmengen solche Strukturen aufweisen. Eng verbunden sind damit Polynome und Moduln/Ideale.

Die Lineare Algebra hat Moduln als Gegenstand. Im einfachsten Fall sind dies Vektorräume, d. h. Moduln über Körpern, meistens reelle oder komplexe Zahlen. Dies sind die Räume der klassischen Geometrie und Analysis. Aber es gibt auch wesentlich kompliziertere Situationen. Die multilineare Algebra dehnt die Untersuchung auf das Tensorprodukt und verwandte Erscheinungen aus. Ein enger Zusammenhang besteht zur Ringtheorie und Homologischen Algebra; eine klassische Fragestellung ist die Invariantentheorie.

Die Galoistheorie ist einer der Höhepunkte der Mathematik im 19. Jahrhundert und Anfang der Körpertheorie. Ausgehend von der Frage nach der Lösbarkeit von algebraischen Gleichungen untersucht sie Körpererweiterungen (und erfindet dabei die Gruppentheorie).

Weitere Gebiete: Gruppentheorie, Kommutative Algebra.

Topologie

Die Topologie ist ein großes und grundlegendes Gebiet, mit vielen Anwendungen. Anstöße kamen aus der Analysis (Reelle Zahlen), der frühen Algebraischen Topologie, der Funktionentheorie (Riemannsche Flächen).

Zunächst werden die Kategorie der topologischen Räume und Verfahren zu ihrer Konstruktion eingeführt. Die eng verbundenen Grundbegriffe sind Zusammenhang, Stetigkeit und Grenzwert (Limes). Weitere wichtige Themen sind Trennungseigenschaften und Kompaktheit. Uniforme Räume haben eine Topologie, die (in Verallgemeinerung metrischer Räume) über eine Art von Abstand definiert ist. Hier kann man Cauchy-Filter definieren und damit den Begriff der Vollständigkeit und die Methode der Vervollständigung eines topologischen Raumes.

Topologische Gruppen, Ringe und Körper sind die entsprechenden algebraischen Objekte (→ oben), die zusätzlich mit einer Topologie versehen sind, bezüglich derer die Verknüpfungen (d. h. bei Ringen und Körpern Addition und Multiplikation) stetig sind. Ein historisch und praktisch wichtiges Beispiel sind die reellen Zahlen. Sie werden durch Vervollständigung der rationalen Zahlen Q bezüglich der Topologie, die vom Standardbetrag herkommt, konstruiert. Man kann jedoch auch für eine fest gewählte Primzahl p den sogenannten p-adischen Betrag einführen, dann ergibt sich als Vervollständigung der Körper der p-adischen Zahlen. Für diesen interessiert sich beispielsweise die Zahlentheorie.

Metrische Räume sind uniforme Räume, deren Topologie von einer Metrik abgeleitet ist und damit besonders übersichtlich und auch anschaulich. Daneben kennt man viele andere Klassen von Räumen.

Für Anwendungen in Analysis und Funktionalanalysis sind topologische Vektorräume grundlegend. Besonders interessant sind lokalkonvexe Räume (und ihre Dualräume), für die es eine schöne Theorie mit wichtigen Resultaten gibt.

Weitere Gebiete: Algebraische Topologie

Analysis

Die Analysis untersucht differenzierbare Abbildungen zwischen topologischen Räumen, von den Zahlkörpern R und C bis zu Mannigfaltigkeiten und Hilbert-Räumen (und darüber hinaus). Sie war schon die Mathematik der Naturwissenschaften des 17. und 18. Jahrhunderts und ist es immer noch.

Im Mittelpunkt der Analysis steht die Infinitesimalrechnung: Die Differentialrechnung beschreibt mit Hilfe der Ableitung eine Abbildung im Kleinen; die Integralrechnung und die Theorie der Differentialgleichungen ermöglichen es umgekehrt, aus der Ableitung auf die Funktion zu schließen.

Die algebraisch definierten rationalen Funktionen werden um die Exponentialfunktion und ihre Verwandten und viele andere, durch Differentialgleichungen und Potenzreihen gegebene spezielle Funktionen ergänzt.

Betrachtet man Funktionen, die den komplexen Zahlkörper in sich abbilden, so drängt sich die Forderung nach komplexer Differenzierbarkeit auf, die weitreichende Folgen hat. Solche Funktionen sind immer analytisch, d. h. im kleinen durch Potenzreihen darstellbar. Ihre Untersuchung heißt Funktionentheorie, sie gehört zu den großen Leistungen des 19. Jahrhunderts.

Wie man die Erdoberfläche stückweise, oder wie man sagt, lokal oder im Kleinen durch ebene Karten darstellen kann, definiert man Mannigfaltigkeiten als Hausdorff-Räume zusammen mit einen Atlas aus kompatiblen Karten, die eine Umgebung eines jeden Punktes in einen gewissen Modellraum abbilden. Mit einigen zusätzlichen Annahmen hinsichtlich der Karten kann man Analysis auf Mannigfaltigkeiten betreiben. Heute liegt der Cartansche Differentialformenkalkül der Übertragung analytische Begriffe auf Mannigfaltigkeiten zugrunde; dabei kommt es darauf an, die neuen Begriffe intrinsisch, das heißt unabhängig davon zu definieren, welche konkrete Karten man zu ihrer Realisation benutzt. Für einen Großteil der Begriffe kann man das, wenngleich es nicht immer einfach ist und zu einer Reihe neuer Begriffsbildungen führt. Als ein Beispiel sei der Satz von Stokes genannt, der den Fundamentalsatz der Analysis verallgemeinert. Eine wichtige Rolle spielt diese Theorie in anderem Gewande, als Vektoranalysis und Ricci-Kalkül in der Physik. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind auch Gegenstand der algebraischen Topologie (→ de-Rham-Cohomologie und Differentialtopologie); mit zusätzlichen Strukturen sind u. a. Riemannsche Mannigfaltigkeiten Thema der Differentialgeometrie.

Aus der uralten Frage nach Maß und Gewicht erwuchs erst Anfang des 20. Jahrhunderts unter Aufnahme topologischer Begriffe die Maßtheorie, die dem gegenwärtigen, sehr leistungsfähigen Integralbegriff und seinen Anwendungen zugrunde liegt, aber auch der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Ungefähr zur selben Zeit entwickelte sich aus dem Studium von Integral- und Differentialgleichungen die Funktionalanalysis als das Studium von Funktionenräumen und von deren Abbildungen (Operatoren). Die ersten Beispiele solcher Räume waren die Hilbert- und Banachräume. Sie erwiesen sich als der Untersuchung mit algebraischen wie topologischen Instrumenten zugänglich, und eine umfangreiche Theorie nahm hier ihren Ursprung.

Weitere Gebiete: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Partielle Differentialgleichungen, Lie-Gruppen

Mathematische Optimierung

In der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts entwickelte sich die mathematische Optimierung immer mehr zu einem eigenständigen Gebiet. Als Startpunkt hierfür wird häufig die Entdeckung des Simplex-Verfahrens zur Lösung linearer Optimierungsprobleme durch Dantzig betrachtet.

Die mathematische Optimierung hat sich mittlerweile in folgende wichtige (und nicht gänzlich voneinander unabhängige) Teilgebiete aufgespalten:

Weitere Gebiete im alphabetischen Überblick

Algebraische Geometrie

Ein aus dem Studium der Kegelschnitte entstandenes und noch sehr aktives Gebiet mit engsten Beziehungen zur kommutativen Algebra und Zahlentheorie ist die algebraische Geometrie. Gegenstand der älteren Theorie sind bis etwa 1950 algebraische Varietäten, d. h. Nullstellenmengen algebraischer Gleichungen im projektiven (komplexen) Raum, inzwischen fand eine starke Verallgemeinerung der Fragestellungen und Methoden statt.

Algebraische Topologie und Differentialtopologie

Die algebraische Topologie entstand aus dem Problem der Klassifikation topologischer Räume. Die zugrundeliegenden Fragestellungen waren dabei häufig ganz konkret: Freizeitgestaltung (›Königsberger Brückenproblem‹, Leonard Euler), elektrische Netzwerke, das Verhalten von analytischen Funktionen und Differentialgleichungen im Großen (Riemann, Poincaré). Wichtig wurde der Vorschlag Emmy Noethers, an Stelle von numerischen Invarianten (Dimension, Betti-Zahlen) die zugrundeliegenden algebraischen Objekte zu studieren. Das inzwischen sehr umfangreiche Gebiet kann man zugespitzt als die Untersuchung von Funktoren von topologischen in algebraische Kategorien beschreiben.

Die Differentialtopologie ist die Topologie der (differenzierbaren) Mannigfaltigkeiten. Nun sieht eine Mannigfaltigkeit lokal überall wie der Modellraum aus; um sie überhaupt untersuchen zu können, führt man zusätzliche Strukturen ein, die in diesem Zusammenhang aber nur instrumentelles Interesse haben.

Differentialgeometrie

Geometrie

Die euklidische Geometrie war das erste Beispiel einer axiomatischen Theorie, wenn es auch bis Hilbert dauern sollte, um diese Axiomatisierung abzuschließen. Nachdem Descartes das Programm aufgestellt hatte, ihre Probleme zu algebraisieren, fand sie neues Interesse und entwickelte sich zur algebraischen Geometrie. Im 19. Jahrhundert wurden nichteuklidische und Differentialgeometrie entwickelt. Ein Großteil der alten Geometrie wurde zur Algebra oder Topologie.

Kommutative Algebra

Komplexe Analysis

Während die Untersuchung von reellen Funktionen mehrerer Veränderlicher kein großes Problem darstellt, ist es im komplexen Fall ganz anders. Dementsprechend entwickelte sich die Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher oder komplexe Analysis, wie man heute sagt, nur sehr langsam. Erst seit den 1940er Jahren hat sich diese Gebiet entfaltet, vor allem durch Beiträge der Schulen von Henri Cartan und Heinrich Behnke in Paris und Münster.

Lie-Gruppen

Numerische Mathematik

Wahrscheinlichkeitsrechnung

In Anfängen in der Antike vorhanden, hat sich dieses Gebiet zunächst und lange Zeit aus der Versicherungsmathematik, v. a. auch dem Spezialfall der Theorie des Glücksspiels gespeist. Man unterscheidet:

  • Wahrscheinlichkeitstheorie i. e. S. (Stochastik) als Theorie stochastischer Experimente. Ziel ist es, zu einem gegebenen Experiment die Verteilung der Zufallsvariablen zu bestimmen.
  • darauf aufbauend die mathematische Statistik, die, bei unvollkommener Kenntnis des Experimentes, aus gewissen Ergebnissen (einer Stichprobe) auf die zugrundeliegende Verteilung schließen will. Zwei Fragen stehen im Mittelpunkt:
    • Bestimmung von Parametern (Schätztheorie)
    • Klassifikation von Fällen (Entscheidungstheorie)

Dabei werden diese Aufgaben als Optimierungsprobleme gestellt, was für die Statistik charakteristisch ist.

Die moderne Theorie ist seit den Arbeiten Andrei Kolmogorows eine wichtige Anwendung der Maßtheorie.

Weitere Gebiete: Ergodentheorie, statistische Mechanik, Informationstheorie, Operations Research

Zahlentheorie

Ein altes, schon in der Antike blühendes Fach, dessen Ausgangspunkt die überraschenden Eigenschaften der natürlichen Zahlen bilden (auch (höhere) Arithmetik genannt). Gefragt wird zunächst nach Teilbarkeit und Primalität. Auch viele mathematische Spiele gehören hierher. Viele Sätze der Zahlentheorie sind einfach zu formulieren, aber schwer zu beweisen; der berühmteste davon ist sicherlich der Satz von Fermat-Wiles.

In der Neuzeit findet die Zahlentheorie zuerst bei Fermat erneutes und zugleich zukunftsweisendes Interesse. Gauß' ›Disquisitiones Arithmeticae‹ (1801) bilden einen Höhepunkt und regen eine intensive Forschung an. Heute hat die Zahlentheorie sich, entsprechend den benutzten Mitteln, vielfältig ausdifferenziert. Sie galt lange als (praktisch) absolut nutzlos, bis sie mit der Entwicklung der asymmetrischen Kryptographie plötzlich in den Mittelpunkt des Interesses rückte.

Normen

  • DIN 1302: Allgemeine mathematische Zeichen und Begriffe

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