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Menge ((Mathematik))

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Menge, in der Mathematik eine Gesamtheit von Objekten, ihren Elementen, die durch diese vollständig gegeben ist (Extensionalität). Zentraler Gegenstand der von Cantor begründeten Mengenlehre. Die rein auf Anschauung fundierte frühe Form der Mengenlehre, heute naive Mengenlehre genannt, führt allerdings zu Widersprüchen, den Antimonien der Mengenlehre und wurde Anfang des 20. Jhdts. durch die axiomatische Mengenlehre abgelöst.

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Die elementaren Operationen auf Mengen, die alle auf den Begriff des Elements zurückgeführt werden können, sind die Bildung der Vereinigungsmenge, der Schnittmenge, der Produktmenge und der Potenzmenge sowie die Relation der Teilmengen-Beziehung. Daneben wird in der naiven Mengenlehre uneingeschränkt die Komprehension zugelassen, die Annahme dass jede Beschreibung von Elementen in einer Menge realisiert werden kann. Dies ist der Kern der erwähnten Antimonien, z. B. der Russelsche Antimonien, der Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten.

Cantor führte die Benutzung des Wortes "Menge" in dieser Bedeutung ab 1879 in einer Aufsatzserie in den Mathematischen Annalen ein, davor und daneben benutzte er die Bezeichnung "Mannigfaltigkeit", die heute eine ganz andere Bedeutung in der Mathematik trägt (s. Mannigfaltigkeit). In diesem sechsteiligen Aufsatz, dessen letzter Teil 1884 erschien, gab Cantor eine umfassende Darstellung der Mengenlehre und führte insbesondere aus, dass mit ihr eine ganze Hierarchie von unterscheidbaren Unendlichkeiten in die Mathematik eingeführt wird, da die Bildung der Potenzmenge stets zu einer Menge größerer Mächtigkeit führt.

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